Математический анализ Примеры

$lim_{z \to 2} {(\frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$

Этап 1

Вынесем степень $3$ в выражении ${(\frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{z \to 2} \frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $z$ к $2$ .

${(\frac{lim_{z \to 2} 2 z + z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $2$ .

${(\frac{lim_{z \to 2} 2 z + lim_{z \to 2} z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $z$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + lim_{z \to 2} z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $z^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $2$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + lim_{z \to 2} 4})}^{3}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $z^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + lim_{z \to 2} 4})}^{3}$

Этап 8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $z$ к $2$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $z$ , подставив значение $2$ для $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Этап 9.2

Найдем предел $z$ , подставив значение $2$ для $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + 2^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Этап 9.3

Найдем предел $z$ , подставив значение $2$ для $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + 2^{2}}{2^{2} + 4})}^{3}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

${(\frac{4 + 2^{2}}{2^{2} + 4})}^{3}$

Этап 10.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(\frac{4 + 4}{2^{2} + 4})}^{3}$

Этап 10.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

${(\frac{8}{2^{2} + 4})}^{3}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(\frac{8}{4 + 4})}^{3}$

Этап 10.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

${(\frac{8}{8})}^{3}$

Этап 10.3

Разделим $8$ на $8$ .

$1^{3}$

Этап 10.4

Единица в любой степени равна единице.

$1$