Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{6} (x^{2} + x + 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ и $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ и $x]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{6}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ в $6$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.3

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.3.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $36$ .

$72 + \frac{36}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.6

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$72 + \frac{18}{1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$72 + 18 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.7

Добавим $72$ и $18$ .

$90 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.8

Добавим $90$ и $6$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 6.2.2.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

Этап 6.2.2.12

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$96 - (0 + 0 + 0)$

Этап 6.2.2.13

Добавим $0$ и $0$ .

$96 - (0 + 0)$

Этап 6.2.2.14

Добавим $0$ и $0$ .

$96 - 0$

Этап 6.2.2.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$96 + 0$

Этап 6.2.2.16

Добавим $96$ и $0$ .

$96$

Этап 7