Математический анализ Примеры

$- x (x + 2) (x - 2)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x (x + 2) (x - 2)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x (x + 2)$ и $g (x) = x - 2$ .

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Этап 1.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Этап 1.4

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Этап 1.5.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Этап 1.5.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Этап 1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.12

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.13

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.14

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Этап 1.6.7.16

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Этап 1.6.7.17

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Этап 1.6.7.18

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Этап 1.6.7.19

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Этап 1.6.7.20

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Этап 1.6.7.21

Добавим $- 3 x^{2}$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 6 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x (x + 2)) (x - 2))$

Этап 4.1.2

$f' (x) = - (x (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x (x + 2)))$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x (x + 2)))$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x (x + 2)))$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x (x + 2)))$

Этап 4.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x (x + 2)))$

Этап 4.1.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x (x + 2)))$

Этап 4.1.4

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} (x + 2) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 4.1.5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 4.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 4.1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Этап 4.1.5.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Этап 4.1.5.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f' (x) = - (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Этап 4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Этап 4.1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Этап 4.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.7.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = - x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = - x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - (2 (x \cdot x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - (2 (x \cdot x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.12

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.13

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.14

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Этап 4.1.6.7.16

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Этап 4.1.6.7.17

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Этап 4.1.6.7.18

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$f' (x) = - x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Этап 4.1.6.7.19

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Этап 4.1.6.7.20

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 0 + 4$

Этап 4.1.6.7.21

Добавим $- 3 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 4$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} = - 4$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 4$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 4$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (2 \sqrt{3})$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Этап 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2

Умножим $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.3

Умножим $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 2 (2 \sqrt{3})}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.3

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 11.2.5

Развернем $(- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Этап 11.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Этап 11.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.1

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.1.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3} \cdot 4}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.2

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3

Умножим $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.3.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.5

Умножим $8$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.6

Сократим общий множитель $24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 11.2.6.1.7

Умножим $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.7.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + 2 (\frac{4 \sqrt{3}}{3})$

Этап 11.2.6.1.7.2

Объединим $2$ и $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{2 (4 \sqrt{3})}{3}$

Этап 11.2.6.1.7.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.6.2

Чтобы записать $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.5

Чтобы записать $\frac{8}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.6.1

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Этап 11.2.6.8

Чтобы записать $- \frac{8}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.6.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.9.1

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 11.2.6.9.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Этап 11.2.6.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Этап 11.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Этап 11.2.7.2

Умножим $8$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Этап 11.2.7.3

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Этап 11.2.7.4

Добавим $- 8 \sqrt{3}$ и $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Этап 11.2.7.5

Вычтем $24$ из $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Этап 11.2.7.6

Добавим $16 \sqrt{3}$ и $0$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 11.2.8

Окончательный ответ: $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$- 6 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 13.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 (- 2 \sqrt{3})$

Этап 13.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.3

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Объединим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.1.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.3

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Этап 15.2.5

Развернем $(- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Этап 15.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Этап 15.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.1

Умножим $- \frac{4}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.1.2

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.1.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.2

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.3.1

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.3.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.5

Умножим $8$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.6

Сократим общий множитель $24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Этап 15.2.6.1.7

Умножим $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1.7.1

Объединим $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ и $- 2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Этап 15.2.6.1.7.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 15.2.6.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 15.2.6.2

Чтобы записать $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.5

Чтобы записать $\frac{8}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.6.1

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Этап 15.2.6.8

Чтобы записать $- \frac{8}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.6.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.9.1

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 15.2.6.9.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Этап 15.2.6.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Этап 15.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Этап 15.2.7.2

Умножим $8$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Этап 15.2.7.3

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Этап 15.2.7.4

Вычтем $24 \sqrt{3}$ из $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Этап 15.2.7.5

Вычтем $24$ из $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Этап 15.2.7.6

Добавим $- 16 \sqrt{3}$ и $0$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 15.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 15.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$ .

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ — локальный максимум

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ — локальный минимум

Этап 17