Математический анализ Примеры

$(12 x^{2} - 4 x) d x$

Этап 1

Запишем $(12 x^{2} - 4 x) d x$ в виде функции.

$f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (12 x^{2} - 4 x) d x d x$

Этап 4

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int (12 x^{2} - 4 x) x d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int 12 x^{2} x - 4 x \cdot x d x$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int 12 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot x d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int 12 x^{2 + 1} - 4 x \cdot x d x$

Этап 5.4

Добавим $2$ и $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 x \cdot x d x$

Этап 5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x) d x$

Этап 5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x^{1}) d x$

Этап 5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{1 + 1} d x$

Этап 5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{2} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (\int 12 x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

Этап 7

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$d (12 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Этап 11

Упростим.

$d (3 x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$ .

$F (x) =$ $d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$