Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 - \sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{23} i + \sum_{k = 1}^{23} 7$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{23} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{23 (23 + 1) (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Добавим $23$ и $1$ .

$\frac{23 \cdot 24 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Умножим $23$ на $24$ .

$\frac{552 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $23$ .

$\frac{552 (46 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.3

Добавим $46$ и $1$ .

$\frac{552 \cdot 47}{6}$

Этап 2.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $552$ на $47$ .

$\frac{25944}{6}$

Этап 2.2.3.2.2

Разделим $25944$ на $6$ .

$4324$

Этап 2.3

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{23} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Добавим $23$ и $1$ .

$- 2 \frac{23 \cdot 24}{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $23$ на $24$ .

$- 2 (\frac{552}{2})$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{552}{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{552}{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 552$

Этап 2.3.3.3

Умножим $- 1$ на $552$ .

$- 552$

Этап 2.4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{23} 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.4.2

Подставим значения в формулу.

$(7) (23)$

Этап 2.4.3

Умножим $7$ на $23$ .

$161$

Этап 2.5

Сложим результаты суммирования.

$4324 - 552 + 161$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $552$ из $4324$ .

$3772 + 161$

Этап 2.6.2

Добавим $3772$ и $161$ .

$3933$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$1^{2} - 2 \cdot 1 + 7 + 2^{2} - 2 \cdot 2 + 7 + 3^{2} - 2 \cdot 3 + 7 + \dots + 5^{2} - 2 \cdot 5 + 7$

Этап 3.2

Упростим расширенную форму.

$60$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$3933 - 60$

Этап 5

Вычтем $60$ из $3933$ .

$3873$