Математический анализ Примеры

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2} + 5$ и $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $3 x'$ и $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.4.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Этап 3.4.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Этап 3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5$ относительно $y$ равна $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $2 x x'$ и $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Этап 3.8.2

Перенесем $2$ влево от $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Этап 3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

Этап 3.9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

Этап 3.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Этап 3.9.6.7

Умножим $2$ на $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

Этап 3.9.6.8

Добавим $3 x^{2} x'$ и $6 x^{2} x'$ .

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

Этап 3.9.7

Изменим порядок членов.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ .

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x'$ из $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x'$ из $9 x^{2} x'$ .

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x'$ из $2 x x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x'$ из $15 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ на $9 x^{2} + 2 x + 15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ на $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$