Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(3 i - 2)}^{2}$ в виде $(3 i - 2) (3 i - 2)$ .

$(3 i - 2) (3 i - 2)$

Этап 1.2

Развернем $(3 i - 2) (3 i - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 i (3 i - 2) - 2 (3 i - 2)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i - 2)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.2

Умножим $i$ на $i$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $i$ на $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$9 i^{2} - 6 i - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i + 4$

Этап 1.3.2

Вычтем $6 i$ из $- 6 i$ .

$9 i^{2} - 12 i + 4$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4 = 9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} - 12 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 4$

Этап 3

Найдем значение $9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(9) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $7$ и $1$ .

$9 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $7$ на $8$ .

$9 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$9 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $14$ и $1$ .

$9 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $56$ на $15$ .

$9 (\frac{840}{6})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (3) \frac{840}{6}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{840}{2})$

Этап 3.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{840}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 840}{2}$

Этап 3.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $3$ на $840$ .

$\frac{2520}{2}$

Этап 3.3.2.4.2

Разделим $2520$ на $2$ .

$1260$

Этап 4

Найдем значение $12 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 12) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $7$ и $1$ .

$- 12 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $7$ на $8$ .

$- 12 (\frac{56}{2})$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{56}{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 6 \frac{56}{2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 \cdot 56$

Этап 4.3.3

Умножим $- 6$ на $56$ .

$- 336$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{7} 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(4) (7)$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $7$ .

$28$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$1260 - 336 + 28$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $336$ из $1260$ .

$924 + 28$

Этап 7.2

Добавим $924$ и $28$ .

$952$