Математический анализ Примеры

$\int \frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x}$ в виде $\frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x}$ .

$\int \frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{\tan (2 \ln (x))}{x} d x$

Этап 3

Пусть $u = 2 \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{2}{x} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 2}{x} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 2 \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{1}{x}$

Этап 3.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \tan (u) d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \tan (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \tan (u) d u$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} \int \tan (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\tan (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (u) |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 \ln (x)$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (2 \ln (x)) |) + C$