Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Этап 4

Перенесем $9$ влево от $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $3$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $4$ и в $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Этап 8.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Этап 8.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Этап 8.2.5

Добавим $- 1$ и $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Этап 8.2.6

Объединим $\frac{3}{4}$ и $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Этап 8.2.7

Умножим $3$ на $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Этап 8.2.8

Объединим $\frac{27}{4}$ и $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{27 π}{4}$

Десятичная форма:

$V = 21.20575041 \dots$

Этап 10