Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 9

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 10

Объединим $\cos (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 12

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 13

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 15

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 17

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 17.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 17.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 18

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 19

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 20

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Этап 21

Упростим.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 22

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 22.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 23.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 23.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 23.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 23.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 23.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Этап 23.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Этап 23.8

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 23.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 24

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 25

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$