Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

Этап 4

Умножим $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x^{5}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 5.1.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 5.2

Перепишем $- 1 x^{- 2}$ в виде $- x^{- 2}$ .

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $x^{- 1}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$