Математический анализ Примеры

$- 3 y - x = 4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- 3 y - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 y - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 y' - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 y' - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 y' - 1$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 1 - 3 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 (3 x^{2})$

Этап 3.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 9 x^{2}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 1 - 3 y' = 9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' = - 1 - 3 y'$

Этап 5.2

Добавим $3 y'$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1$

Этап 5.3

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $12 y^{2} y'$ .

$y' (12 y^{2}) + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (12 y^{2}) + y' (4 y)$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ на $12 y^{2} + 4 y + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ на $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 1 - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (9 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 5.5.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$