Математический анализ Примеры

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y - y^{2} + x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $6 y^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Этап 5.3.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $6 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Этап 5.3.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ на $6 y^{2} - 2 y + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ на $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Перепишем $- (2 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 5.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$