Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} 3 - | x - 3 | d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 3 d x + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} | x - 3 | d x$

Этап 5

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x - 3$ принимает положительные и отрицательные значения.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x + 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 x]_{1}^{4} - (- \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x d x + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + - 3 x]_{3}^{4})$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4}$ и $- 3 x]_{3}^{4}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Этап 15.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Найдем значение $3 x$ в $4$ и в $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Этап 15.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Этап 15.2.3

Найдем значение $3 x$ в $3$ и в $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Этап 15.2.4

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2} - 3 x$ в $4$ и в $3$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$12 - 3 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.3

Вычтем $3$ из $12$ .

$9 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.5

Единица в любой степени равна единице.

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 - (- \frac{9 - 1}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.7

Вычтем $1$ из $9$ .

$9 - (- \frac{8}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.8

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.8.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.8.2.2

Сократим общий множитель.

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.8.2.3

Перепишем это выражение.

$9 - (- \frac{4}{1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.8.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$9 - (- 1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$9 - (- 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.10

Умножим $3$ на $3$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.11

Умножим $- 3$ на $1$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.12

Вычтем $3$ из $9$ .

$9 - (- 4 + 6 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.13

Добавим $- 4$ и $6$ .

$9 - (2 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.14

Возведем $4$ в степень $2$ .

$9 - (2 + \frac{16}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.15

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.15.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.15.2.2

Сократим общий множитель.

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.15.2.3

Перепишем это выражение.

$9 - (2 + \frac{8}{1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.15.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$9 - (2 + 8 - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.16

Умножим $- 3$ на $4$ .

$9 - (2 + 8 - 12 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.17

Вычтем $12$ из $8$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.18

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3))$

Этап 15.2.5.19

Умножим $- 3$ на $3$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9))$

Этап 15.2.5.20

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 15.2.5.21

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}))$

Этап 15.2.5.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 9 \cdot 2}{2})$

Этап 15.2.5.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.23.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 18}{2})$

Этап 15.2.5.23.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{- 9}{2})$

Этап 15.2.5.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 - (2 - 4 - - \frac{9}{2})$

Этап 15.2.5.25

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 - (2 - 4 + 1 (\frac{9}{2}))$

Этап 15.2.5.26

Умножим $\frac{9}{2}$ на $1$ .

$9 - (2 - 4 + \frac{9}{2})$

Этап 15.2.5.27

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

Этап 15.2.5.28

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

Этап 15.2.5.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2 + 9}{2})$

Этап 15.2.5.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.30.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$9 - (2 + \frac{- 8 + 9}{2})$

Этап 15.2.5.30.2

Добавим $- 8$ и $9$ .

$9 - (2 + \frac{1}{2})$

Этап 15.2.5.31

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 15.2.5.32

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 15.2.5.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 - \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 15.2.5.34

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.34.1

Умножим $2$ на $2$ .

$9 - \frac{4 + 1}{2}$

Этап 15.2.5.34.2

Добавим $4$ и $1$ .

$9 - \frac{5}{2}$

Этап 15.2.5.35

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 15.2.5.36

Объединим $9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 15.2.5.37

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 \cdot 2 - 5}{2}$

Этап 15.2.5.38

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.38.1

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{18 - 5}{2}$

Этап 15.2.5.38.2

Вычтем $5$ из $18$ .

$\frac{13}{2}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13}{2}$

Десятичная форма:

$6.5$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{1}{2}$

Этап 17