Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x$

Этап 1

Рационализируем числитель с помощью умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x) (\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x)}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем числитель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)}}^{2} + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} x + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} (- x) - x^{2}}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420 + 0}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Этап 2.2.2

Добавим $4041 x + 4082420$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Этап 3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Этап 4.1.2

Разделим $4041$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 4.5

Найдем предел $4041$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 4.6

Вынесем член $4082420$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 2020) (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2021) + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.4

Изменим порядок $x$ и $2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2021 \cdot x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.8.2

Умножим $2020$ на $2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.8.3

Добавим $2021 x$ и $2020 x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4041 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.2.9

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 2020$ и $g (x) = x + 2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \frac{d}{d x} [x + 2021] + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.3

По правилу суммы производная $x + 2021$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.5

Поскольку $2021$ является константой относительно $x$ , производная $2021$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + 0) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \cdot 1 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.7

Умножим $x + 2020$ на $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.8

По правилу суммы производная $x + 2020$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020]$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.10

Поскольку $2020$ является константой относительно $x$ , производная $2020$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.12

Умножим $x + 2021$ на $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + x + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.13

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2020 + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.14

Добавим $2020$ и $2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{2 x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10.6

Вынесем член $4041$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 11

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 12

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 12.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + 1}$

Этап 12.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим $2 + 4041 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

Этап 12.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Умножим $4082420$ на $0$ .

$\frac{4041 + 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

Этап 12.3.2.2

Добавим $4041$ и $0$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

Этап 12.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Умножим $4041$ на $0$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)} + 1}$

Этап 12.3.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Этап 12.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{2}{2}} + 1}$

Этап 12.3.3.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{4041}{\sqrt{1} + 1}$

Этап 12.3.3.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{4041}{1 + 1}$

Этап 12.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4041}{2}$