Математический анализ Примеры

$e^{x} \cdot \sin (x)$

Этап 1

Запишем $e^{x} \cdot \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{x} \cdot \sin (x) d x$

Этап 4

Изменим порядок $e^{x}$ и $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 6

Изменим порядок $e^{x}$ и $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 9

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 9.2

Умножим $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ на $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 10

Найдя решение для $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ , получим $\int e^{x} \cdot \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Этап 11

Перепишем $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{x} \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$