Математический анализ Примеры

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + y^{2}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ в виде ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 9.3

Перенесем ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 9.4

Умножим $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 10

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 11

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 12

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (2 y)$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 14.2

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ и $y$ .

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$