Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (- 2 x + 4) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} - 2 x + 4 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} - 2 x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + 4 x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $\frac{3}{2}$ и в $\frac{1}{2}$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4 x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $4 x$ в $\frac{3}{2}$ и в $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4 (\frac{3}{2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{4 \cdot 3}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{12}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.3

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{6}{1} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.3.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{- 4}{2}$

Этап 7.1.3.5

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 7.1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 7.1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{- 2}{1}$

Этап 7.1.3.5.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 - 2$

Этап 7.1.3.6

Вычтем $2$ из $6$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.2.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{2^{2}}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{\frac{9 - 1}{4}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.4

Вычтем $1$ из $9$ .

$- 2 \frac{\frac{8}{4}}{2} + 4$

Этап 7.2.1.5

Разделим $8$ на $4$ .

$- 2 (\frac{2}{2}) + 4$

Этап 7.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{2}{2}) + 4$

Этап 7.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot 1 + 4$

Этап 7.2.1.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 4$

Этап 7.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$2$

Этап 8