Математический анализ Примеры

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

Этап 1

Перенесем $6$ влево от ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Этап 3

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 3.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Этап 6.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{3} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $u^{3}$ на $1$ .

$u^{3} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$