Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Разделим $x^{3} + x$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 + x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Этап 3.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Этап 3.7

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\int x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$