Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{25 - 4 x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{5^{2} - 4 x^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{5^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = 2 x$ .

$\frac{1}{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}$

Этап 1.1.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{5 + 2 x}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{5 + 2 x} + \frac{B}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(5 + 2 x) (5 - 2 x)$ .

$\frac{1 (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $5 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (5 - 2 x)}{5 - 2 x} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $5 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (5 - 2 x)}{5 - 2 x} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $5 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (5 - 2 x)$ на $1$ .

$1 = (A) (5 - 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 5 + A (- 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$1 = 5 \cdot A + A (- 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 5 \cdot A - 2 A x + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7.5

Сократим общий множитель $5 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 5 A - 2 A x + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Этап 1.1.7.5.2

Разделим $(B) (5 + 2 x)$ на $1$ .

$1 = 5 A - 2 A x + (B) (5 + 2 x)$

Этап 1.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 5 A - 2 A x + B \cdot 5 + B (2 x)$

Этап 1.1.7.7

Перенесем $5$ влево от $B$ .

$1 = 5 A - 2 A x + 5 \cdot B + B (2 x)$

Этап 1.1.7.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 5 A - 2 A x + 5 B + 2 B x$

Этап 1.1.8

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 5 B + 2 B x$

Этап 1.1.8.2

Перенесем $B$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 5 B + 2 x B$

Этап 1.1.8.3

Перенесем $5 B$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 2 x B + 5 B$

Этап 1.1.8.4

Перенесем $5 A$ .

$1 = - 2 x A + 2 x B + 5 A + 5 B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 2 A + 2 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 2 A + 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

$0 = - 2 A + 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = - 2 A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 A + 2 B = 0$ .

$- 2 A + 2 B = 0$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$- 2 A = - 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.1.3

Разделим каждый член $- 2 A = - 2 B$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Разделим каждый член $- 2 A = - 2 B$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.1.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.1.3.3.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 5 A + 5 B$ на $B$ .

$1 = 5 (B) + 5 B$

$A = B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Добавим $5 B$ и $5 B$ .

$1 = 10 B$

$A = B$

$1 = 10 B$

$A = B$

$1 = 10 B$

$A = B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 10 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $10 B = 1$ .

$10 B = 1$

$A = B$

Этап 1.3.3.2

Разделим каждый член $10 B = 1$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Разделим каждый член $10 B = 1$ на $10$ .

$\frac{10 B}{10} = \frac{1}{10}$

$A = B$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 B}{10} = \frac{1}{10}$

$A = B$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{10}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = B$ на $\frac{1}{10}$ .

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

Этап 1.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{1}{10}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{5 + 2 x} + \frac{B}{5 - 2 x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{10}}{5 + 2 x} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5 + 2 x} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{1}{5 + 2 x}$ .

$\frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5 - 2 x}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{1}{5 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{10 (5 + 2 x)} d x + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{5 + 2 x} d x + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 5 + 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 5 + 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $5 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 2 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $5 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 4.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{10} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{1}{20} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{5 - 2 x} d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = 5 - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = 5 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Этап 10.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 10.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 10.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 10.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 10.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 11.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{20} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{20} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{20} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{20} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 + 2 x$ .

$\frac{1}{20} \ln (| 5 + 2 x |) - \frac{1}{20} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 - 2 x$ .

$\frac{1}{20} \ln (| 5 + 2 x |) - \frac{1}{20} \ln (| 5 - 2 x |) + C$