Математический анализ Примеры

$- 4 - x^{2} = x y^{2} + y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- 4 - x^{2}) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.3

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x y^{2} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 x = y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y' = - 2 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 3 y^{2} y' = - 2 x$

Этап 5.2

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - y^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y y'$ из $2 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y y'$ из $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) + 3 y^{2} y' = - 2 x - y^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (3 y) = - 2 x - y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y y'$ из $y y' (2 x) + y y' (3 y)$ .

$y y' (2 x + 3 y) = - 2 x - y^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y y' (2 x + 3 y) = - 2 x - y^{2}$ на $y (2 x + 3 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y y' (2 x + 3 y) = - 2 x - y^{2}$ на $y (2 x + 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 x + 3 y)}{y (2 x + 3 y)} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (2 x + 3 y)}{y (2 x + 3 y)} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x + 3 y)}{2 x + 3 y} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $2 x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x + 3 y)}{2 x + 3 y} = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} + \frac{- y}{2 x + 3 y}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y}{2 x + 3 y}$

Этап 5.4.3.2

Чтобы записать $- \frac{y}{2 x + 3 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y}{2 x + 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (2 x + 3 y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Умножим $\frac{y}{2 x + 3 y}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x + 3 y) y}$

Этап 5.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(2 x + 3 y) y$ .

$y' = - \frac{2 x}{y (2 x + 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot y}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{- 2 x - (y \cdot y)}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 2 x - y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y^{2})}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{- (2 x + y^{2})}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.9.1

Перепишем $- (2 x + y^{2})$ в виде $- 1 (2 x + y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y^{2})}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y^{2}}{y (2 x + 3 y)}$