Математический анализ Примеры

$y = 4 \sqrt{x^{5}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [4 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{5}$ в виде ${(x^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $x^{4}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{4} x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [4 (x^{2} \sqrt{x})]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$

Этап 4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Этап 10

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 11

Объединим $4$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 12

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 13

Вынесем множитель $2$ из $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Этап 14.4

Разделим $10 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$10 x^{\frac{3}{2}}$