Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + x^{2} - 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Этап 1.5

Добавим $3 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $3 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 2 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 2 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$x (3 x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (0) + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $6$ на $0$ .

$0 + 2$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (0) = - 5$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{2}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{2}{3}) + 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$6 (\frac{- 2}{3}) + 2$

Этап 13.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} + 2$

Этап 13.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} + 2$

Этап 13.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 2 + 2$

Этап 13.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 + 2$

Этап 13.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$- 2$

Этап 14

$x = - \frac{2}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{2}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Этап 15.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Этап 15.2.1.7

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5$

Этап 15.2.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{3^{2}} - 5$

Этап 15.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} - 5$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3} - 5$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 5$

Этап 15.2.2.3

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1}$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.2.6

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.2.7

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 5 \cdot 27}{27}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 5$ на $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 135}{27}$

Этап 15.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 8$ и $12$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 135}{27}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $135$ из $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 131}{27}$

Этап 15.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{131}{27}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{131}{27}$ .

$y = - \frac{131}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5$ .

$(0, - 5)$ — локальный минимум

$(- \frac{2}{3}, - \frac{131}{27})$ — локальный максимум

Этап 17