Математический анализ Примеры

$V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ имеет вид $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ , где $f (w) = 60 - 4 w$ и $g (w) = w^{2}$ .

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $60 - 4 w$ .

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $60 - 4 w$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Этап 1.2.4

Поскольку $60$ является константой относительно $w$ , производная $60$ относительно $w$ равна $0$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Этап 1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $w$ , производная $- 4 w$ по $w$ равна $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

Этап 1.2.8.2

Перенесем $- 4$ влево от $w^{2}$ .

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $2$ на $60$ .

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3.3

Возведем $w$ в степень $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3.4

Возведем $w$ в степень $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

Этап 1.3.3.7

Вычтем $4 w^{2}$ из $- 8 w^{2}$ .

$120 w - 12 w^{2}$

Этап 1.3.4

Изменим порядок членов.

$- 12 w^{2} + 120 w$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 12 w^{2} + 120 w$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}] + \frac{d}{d w} [120 w]$ .

$V'' (w) = \frac{d}{d w} (- 12 w^{2}) + \frac{d}{d w} (120 w)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $w$ , производная $- 12 w^{2}$ по $w$ равна $- 12 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$V'' (w) = - 12 \frac{d}{d w} w^{2} + \frac{d}{d w} (120 w)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$V'' (w) = - 12 (2 w) + \frac{d}{d w} (120 w)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$V'' (w) = - 24 w + \frac{d}{d w} (120 w)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [120 w]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $120$ является константой относительно $w$ , производная $120 w$ по $w$ равна $120 \frac{d}{d w} [w]$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120 \frac{d}{d w} (w)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $120$ на $1$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Этап 4.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $60 - 4 w$ .

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $60 - 4 w$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $60$ является константой относительно $w$ , производная $60$ относительно $w$ равна $0$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Этап 4.1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $w$ , производная $- 4 w$ по $w$ равна $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

Этап 4.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

Этап 4.1.2.8.2

Перенесем $- 4$ влево от $w^{2}$ .

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $2$ на $60$ .

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3.3

Возведем $w$ в степень $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3.4

Возведем $w$ в степень $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

Этап 4.1.3.3.7

Вычтем $4 w^{2}$ из $- 8 w^{2}$ .

$120 w - 12 w^{2}$

Этап 4.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (w) = - 12 w^{2} + 120 w$

Этап 4.2

Первая производная $V (w)$ по $w$ равна $- 12 w^{2} + 120 w$ .

$- 12 w^{2} + 120 w$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 w^{2} + 120 w = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 12 w$ из $- 12 w^{2} + 120 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 12 w$ из $- 12 w^{2}$ .

$- 12 w \cdot w + 120 w = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 12 w$ из $120 w$ .

$- 12 w \cdot w - 12 w \cdot - 10 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 12 w$ из $- 12 w (w) - 12 w (- 10)$ .

$- 12 w (w - 10) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w = 0$

$w - 10 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $w$ к $0$ .

$w = 0$

Этап 5.5

Приравняем $w - 10$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $w - 10$ к $0$ .

$w - 10 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$w = 10$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 w (w - 10) = 0$ верно.

$w = 0, 10$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$w = 0, 10$

Этап 8

Найдем вторую производную в $w = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 \cdot 0 + 120$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 24$ на $0$ .

$0 + 120$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $120$ .

$120$

Этап 10

$w = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$w = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $w = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $w$ на $0$ .

$V (0) = (60 - 4 \cdot 0) {(0)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$V (0) = (60 + 0) {(0)}^{2}$

Этап 11.2.2

Добавим $60$ и $0$ .

$V (0) = 60 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V (0) = 60 \cdot 0$

Этап 11.2.4

Умножим $60$ на $0$ .

$V (0) = 0$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $w = 10$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 \cdot 10 + 120$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 24$ на $10$ .

$- 240 + 120$

Этап 13.2

Добавим $- 240$ и $120$ .

$- 120$

Этап 14

$w = 10$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$w = 10$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $w = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $w$ на $10$ .

$V (10) = (60 - 4 \cdot 10) {(10)}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 4$ на $10$ .

$V (10) = (60 - 40) {(10)}^{2}$

Этап 15.2.2

Вычтем $40$ из $60$ .

$V (10) = 20 {(10)}^{2}$

Этап 15.2.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$V (10) = 20 \cdot 100$

Этап 15.2.4

Умножим $20$ на $100$ .

$V (10) = 2000$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $2000$ .

$y = 2000$

Этап 16

Это локальные экстремумы $V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(10, 2000)$ — локальный максимум

Этап 17