Математический анализ Примеры

$y = x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 4 x + 8$ и $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 4 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x^{2} + 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 4 x + 8$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x + 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + 4 x + 8$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) + 4 x + 8 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (x) + 8 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot 2 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3}) + 4 x$ .

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot 2 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot 2$ .

$4 (x^{3} + x + 2) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{3} + x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 5.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 5.2.2.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 1 + 2$

Этап 5.2.2.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 1 + 2$

Этап 5.2.2.1.3.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2 + 2$

Этап 5.2.2.1.3.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 5.2.2.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x + 2}{x + 1}$

Этап 5.2.2.1.5

Разделим $x^{3} + x + 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Этап 5.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Этап 5.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Этап 5.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 5.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 5.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 5.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 5.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Этап 5.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x + 2$

Этап 5.2.2.1.6

Запишем $x^{3} + x + 2$ в виде набора множителей.

$4 ((x + 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} - x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} - x + 2$ к $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} - x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 \cdot 1 + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + 4$

Этап 9.2

Добавим $12$ и $4$ .

$16$

Этап 10

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1) + 3$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1) + 3$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot 1 + 8 (- 1) + 3$

Этап 11.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 + 8 (- 1) + 3$

Этап 11.2.1.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 8 + 3$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = 3 - 8 + 3$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $8$ из $3$ .

$f (- 1) = - 5 + 3$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 5$ и $3$ .

$f (- 1) = - 2$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ .

$(- 1, - 2)$ — локальный минимум

Этап 13