Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ и $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Этап 6.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Этап 6.2.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Этап 6.2.2.4

Чтобы записать $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Этап 6.2.2.5

Объединим $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Этап 6.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Этап 6.2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.2

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.4

Перепишем $e^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.1.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Этап 7.1.2

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Этап 7.1.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Этап 7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Развернем $(e + 1) (e - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Этап 7.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Этап 7.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Перенесем $- 1$ влево от $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.2.1.2

Перепишем $- 1 e$ в виде $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.2.1.3

Умножим $e$ на $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.2.2

Добавим $- e$ и $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.2.3

Добавим $e e$ и $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Этап 7.4.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Этап 7.4.4

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Этап 7.4.4.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Этап 7.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Этап 7.4.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Десятичная форма:

$4.19452804 \dots$

Этап 9