Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

Этап 4

Перепишем $x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})$ в виде $\frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.2.1

Разделим $1 + 0$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.4

Умножим $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 1$ и $g (x) = x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перенесем $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.12

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15

Умножим $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ на $\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{(x^{2} + 1) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $(x^{2} + 1) x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.4.3

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.5.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2 + 2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.5.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.6

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.6.2

Умножим на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.6.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.7

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.7.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x^{2} + 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.7.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17.7.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.18

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 5.3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Этап 5.3.20

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x^{2} + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 5.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

Этап 5.5.3

Объединим $\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

Этап 5.6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{2} + 1}}$

Этап 7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 8.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 9

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 11

$e^{2 \frac{0}{1 + 0}}$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{2 (\frac{0}{1})}$

Этап 12.1.2

Разделим $0$ на $1$ .

$e^{2 \cdot 0}$

Этап 12.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 12.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$