Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x + 2}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{x + 2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{x + 2} d x$

Этап 4

Разделим $x^{2}$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Этап 4.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$

Этап 4.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$

Этап 4.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$4$

Этап 4.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 4$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$4$

Этап 4.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$4$

Этап 4.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x - 2 + \frac{4}{x + 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{4}{x + 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{4}{x + 2} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{4}{x + 2} d x$

Этап 8

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 9

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 (\ln (| u |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| x + 2 |) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| x + 2 |) + C$