Математический анализ Примеры

$\int [3 x^{3} (x^{5} + \frac{4}{x^{4}})] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 3 x^{3} (x^{5} + \frac{4}{x^{4}}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Этап 2.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\int 3 (x^{5} x^{3}) + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Этап 2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{5 + 3} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Этап 2.2.3

Добавим $5$ и $3$ .

$\int 3 x^{8} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{4}} d x$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{3} x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель.

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{3} x} d x$

Этап 2.3.4

Перепишем это выражение.

$\int 3 x^{8} + 3 \frac{4}{x} d x$

Этап 2.4

Объединим $3$ и $\frac{4}{x}$ .

$\int 3 x^{8} + \frac{3 \cdot 4}{x} d x$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\int 3 x^{8} + \frac{12}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{8} d x + \int \frac{12}{x} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{8} d x + \int \frac{12}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int \frac{12}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 12 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 12 (\ln (| x |) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$3 (\frac{1}{9}) x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$