Математический анализ Примеры

$\int \frac{6}{2 x + 3 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{2 x + 3 x^{2}} d x$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + 3 x^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + x (3 x)}$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (3 x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (2 + 3 x)}$

Этап 2.1.1.4

Умножим $x$ на $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{x (2 + 3 x)}$

Этап 2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (2 + 3 x)$ .

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6.1.2

Разделим $A (2 + 3 x)$ на $1$ .

$1 = A (2 + 3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 2 + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot A + 3 A x + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6.5

Сократим общий множитель $2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 A + 3 A x + \frac{B (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Этап 2.1.6.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = 2 A + 3 A x + (B) (x)$

$1 = 2 A + 3 A x + B x$

Этап 2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

Этап 2.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

Этап 2.1.7.3

Перенесем $2 A$ .

$1 = 3 x A + B x + 2 A$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 3 A + B$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A$

Этап 2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Этап 2.3.1.2

Разделим каждый член $2 A = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Разделим каждый член $2 A = 1$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Этап 2.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 3 A + B$ на $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = \frac{3}{2} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Этап 2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 + 3 x}$

Этап 2.5.4

Умножим $\frac{1}{2 + 3 x}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{(2 + 3 x) \cdot 2}$

Этап 2.5.5

Перенесем $2$ влево от $2 + 3 x$ .

$6 \int \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$6 (\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 + 3 x} d x))$

Этап 8

Пусть $u = 2 + 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 + 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Этап 8.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 8.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 8.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Этап 8.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + 3$

Этап 8.1.4

Добавим $0$ и $3$ .

$3$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u)$

Этап 9.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Этап 13

Упростим.

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 3 x$ .

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\ln (| 2 + 3 x |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{\ln (| 2 + 3 x |)}{2}) + C$

Этап 15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{\ln (| x |) - \ln (| 2 + 3 x |)}{2} + C$

Этап 15.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Этап 15.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Этап 15.4.3

Перепишем это выражение.

$3 \ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |}) + C$