Математический анализ Примеры

$\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Этап 1

Запишем $\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Этап 6

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

Этап 7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (u)$ .

$- (\arcsin (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

$- \arcsin (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$- \arcsin (\ln (x)) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ .

$F (x) =$ $- \arcsin (\ln (x)) + C$