Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ на $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $7^{u_{1}} - 5$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Тогда $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $7^{u_{1}} - 5$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- 5$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $7^{u_{1}} \ln (7)$ и $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{\ln (7)}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{\ln (7)}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{\ln (7)}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (7)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$