Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{4 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{4 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 1.3.1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (3 x - 2)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{3 x - 2}$ и $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.10

Добавим $3$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{4}{3 x - 2}$ и $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.12

Умножим $4$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Этап 3.13

По правилу суммы производная $2 - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Этап 3.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Этап 3.15

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.15.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 (2 x)}$

Этап 3.15.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 4 x}$

Этап 3.16

Вычтем $4 x$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{- 4 x}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{12}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 4 x}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{12}{3 x - 2}$ на $\frac{1}{- 4 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{12}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $12$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $(3 x - 2) (- 4 x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) (- x)}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) (- x)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$3 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Этап 9

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$3 \frac{1}{- (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Этап 12

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Этап 13

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Этап 15.1.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$3 \frac{- 1 (- 1)}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Этап 15.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{1}{3 - 1 \cdot 2})$

Этап 15.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- \frac{1}{3 - 2})$

Этап 15.3.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$3 (- \frac{1}{1})$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Сократим общий множитель.

$3 (- \frac{1}{1})$

Этап 15.4.2

Перепишем это выражение.

$3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.5

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \cdot - 1$

Этап 15.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3$