Математический анализ Примеры

$\int \sin (3 x) + e^{2 x + 1} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin (3 x) d x + \int e^{2 x + 1} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Этап 3

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Этап 5

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{2 x + 1} d x$

Этап 6

Пусть $u_{2} = 2 x + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 1$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$