Математический анализ Примеры

$\int x^{2} {(3 + x)}^{2} d x$

Этап 1

Развернем $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(3 + x)}^{2}$ в виде $(3 + x) (3 + x)$ .

$\int x^{2} ((3 + x) (3 + x)) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (3 (3 + x) + x (3 + x)) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x (3 + x)) d x$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Этап 1.8

Перенесем $x^{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Этап 1.9

Изменим порядок $x^{2}$ и $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Этап 1.10

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (3 \cdot x) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Этап 1.11

Изменим порядок $x^{2}$ и $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + 3 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (x \cdot x) d x$

Этап 1.12

Умножим $3$ на $3$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2} x + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.15

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.18

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x \cdot x d x$

Этап 1.19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x^{1} x d x$

Этап 1.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2 + 1} x d x$

Этап 1.21

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x d x$

Этап 1.22

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x^{1} d x$

Этап 1.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3 + 1} d x$

Этап 1.24

Добавим $3$ и $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{4} d x$

Этап 1.25

Добавим $3 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$\int 9 x^{2} + 6 x^{3} + x^{4} d x$

Этап 1.26

Изменим порядок $6 x^{3}$ и $x^{4}$ .

$\int 9 x^{2} + x^{4} + 6 x^{3} d x$

Этап 1.27

Перенесем $9 x^{2}$ .

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 \int x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 9 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $9$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{9 x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 (1)} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{3}}{1} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $3 x^{3}$ на $1$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$