Математический анализ Примеры

$\int (\frac{3 x^{3} - 4 x - 2}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{3 x^{3} - 4 x - 2}{x^{3}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (3 x^{3} - 4 x - 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 4 x - 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 4 x - 2) x^{- 3} d x$

Этап 4

Развернем $(3 x^{3} - 4 x - 2) x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$\int 3 x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\int 3 - 4 x \cdot x^{- 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 - 4 x^{1 - 3} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.9

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int 3 - 4 x^{- 2} - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.10

Изменим порядок $3$ и $- 4 x^{- 2}$ .

$\int - 4 x^{- 2} + 3 - 2 x^{- 3} d x$

Этап 4.11

Перенесем $3$ .

$\int - 4 x^{- 2} - 2 x^{- 3} + 3 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Этап 8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 3 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 3 d x$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 3 d x$

Этап 10.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 3 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 4 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 x + C$

Этап 12

Упростим.

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x + C$