Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 - 4 x^{2}$ . Тогда $d u = - 8 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 - 4 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$0 - 8 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $8 x$ из $0$ .

$- 8 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Этап 2.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Этап 2.5.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Этап 2.5.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Этап 2.5.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.4.3

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 2.5.1.4.4

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{1}{4})$ в виде $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Этап 2.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Этап 2.5.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Этап 3.3

Перенесем $8$ влево от $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.1.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 7.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 7.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 7.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $\frac{3}{4}$ и в $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Этап 9.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Этап 10.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Этап 10.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Этап 10.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Этап 10.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Этап 10.1.2.4

Найдем экспоненту.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Этап 10.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Этап 10.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$

Этап 12