Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 1$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Этап 1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.3

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Этап 2.7.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.7.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.7.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 2.7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6