Математический анализ Примеры

$y = x^{5 \sin (x)}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

Этап 2

Развернем $\ln (x^{5 \sin (x)})$ , вынося $5 \sin (x)$ из логарифма.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $5 \sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (x) \ln (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

Этап 3.2.7.2

Объединим $5$ и $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

Этап 3.2.7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $5 \cos (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок $\ln (x)$ и $5$ .

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Этап 5.1.2

Упростим $5 \cdot \ln (x)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{5 \sin (x)}{x}$ и $x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x^{5 \sin (x)}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.4.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

Этап 5.4.2.5

Разделим $5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ на $1$ .

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ .

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$