Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + 3 + 5 x^{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 x + 3 + 5 x^{3} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x d x + \int 3 d x + \int 5 x^{3} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x d x + \int 3 d x + \int 5 x^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int 5 x^{3} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int 5 x^{3} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int 5 x^{3} d x$

Этап 8

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + 5 \int x^{3} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$2 x^{2} + 3 x + 5 \frac{x^{4}}{4} + C$

Этап 10.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $5$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

$2 x^{2} + 3 x + \frac{5 x^{4}}{4} + C$

Этап 10.3.2

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{5}{4} x^{4} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 x + 3 + 5 x^{3}$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} + 3 x + \frac{5}{4} x^{4} + C$