Математический анализ Примеры

$x^{3} y + x^{3} = - y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y + x^{3}) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} y + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.4

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 3 x^{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + x^{3} y' + 3 x^{2} y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 2 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + x^{3} y' + 3 x^{2} y = - 2 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2 y y'$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + x^{3} y' + 3 x^{2} y + 2 y y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 2 y y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} y' + 2 y y' = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x^{3} y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + 2 y y' = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{3}) + y' (2 y)$ .

$y' (x^{3} + 2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x^{3} + 2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ на $x^{3} + 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x^{3} + 2 y) = - 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ на $x^{3} + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + 2 y)}{x^{3} + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{3} + 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{3} + 2 y)}{x^{3} + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{3} + 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{3} + 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $- 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1) - 3 x^{2} y}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1) + 3 x^{2} (- 1 y)}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (- 1) + 3 x^{2} (- 1 y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 - 1 y)}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 - y)}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 (1) - y)}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 (1) - (y))}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} (- 1 (1 + y))}{x^{3} + 2 y}$

Этап 5.4.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{(3 x^{2}) (1 + y)}{x^{3} + 2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x^{2}) (1 + y)}{x^{3} + 2 y}$