Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{3}} d x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3}} \cdot (d x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d}{x^{3}} \cdot x d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{d}{x^{3}}$ и $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{3}} d x$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $d x$ .

$\int \frac{x d}{x^{3}} d x$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\int \frac{x d}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x d}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{d}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$d \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$d \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$d (- x^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $d (- x^{- 1} + C)$ в виде $d (- \frac{1}{x}) + C$ .

$d (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 8.2

Объединим $d$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{x} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{3}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{d}{x} + C$