Математический анализ Примеры

$\int 2 x {(2 x + 3)}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x {(2 x + 3)}^{2} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x + 3$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4.2

Умножим $\frac{u}{2}$ на $\frac{u^{2}}{2}$ .

$2 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4.7

Объединим $- \frac{3}{2}$ и $\frac{u^{2}}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Этап 4.8

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{4} - \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{4} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{4} \int u^{2} d u))$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Этап 12.2

Упростим.

$2 (\frac{u^{4}}{16} - \frac{u^{3}}{4}) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$2 (\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{16} - \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{4}) + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$2 (\frac{1}{16} {(2 x + 3)}^{4} - \frac{1}{4} {(2 x + 3)}^{3}) + C$