Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Этап 1

Запишем

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию

$F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной

$f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Этап 4

Пусть

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Тогда

$d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , следовательно

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{2}$ и

$d$

$u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Найдем

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем

$e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная

$e^{x} + e^{- x}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид

$a^{x} \ln (a)$ , где

$a$ =

$e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = e^{x}$ и

$g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u_{1}$ как

$- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид

$a^{u_{1}} \ln (a)$ , где

$a$ =

$e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.4.1.3

Заменим все вхождения

$u_{1}$ на

$- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.4.2

Поскольку

$- 1$ является константой относительно

$x$ , производная

$- x$ по

$x$ равна

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.4.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 4.1.4.5

Перенесем

$- 1$ влево от

$e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 4.1.4.6

Перепишем

$- 1 e^{- x}$ в виде

$- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{2}$ и

$d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5

Интеграл

$\frac{1}{u_{2}}$ по

$u_{2}$ имеет вид

$\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения

$u_{2}$ на

$e^{x} + e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ .

$F (x) =$

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$