Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}})$

Этап 1

По правилу суммы производная $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k e^{- 2 x}$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 2.6

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{k^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = k^{2}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ .

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$