Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} (f (x) + g (x)) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{5} f (x) + g (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5} f (x) d x + \int_{0}^{5} g x d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x) x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} g x d x$

Этап 4

Поскольку $g$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $g$ из-под знака интеграла.

$f (x) x]_{0}^{5} + g \int_{0}^{5} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x) x]_{0}^{5} + g \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x) x]_{0}^{5} + g \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $f (x) x$ в $5$ и в $0$ .

$(f (x) \cdot 5) - f (x) \cdot 0 + g \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $0$ .

$f (x) \cdot 5 - f (x) \cdot 0 + g (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $5$ влево от $f (x)$ .

$5 \cdot f (x) - f (x) \cdot 0 + g (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$5 f (x) + 0 f (x) + g (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Умножим $0$ на $f (x)$ .

$5 f (x) + 0 + g (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Добавим $5 f (x)$ и $0$ .

$5 f (x) + g (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 6.2.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 6.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 6.2.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} - 0)$

Этап 6.2.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 f (x) + g (\frac{25}{2} + 0)$

Этап 6.2.3.9

Добавим $\frac{25}{2}$ и $0$ .

$5 f (x) + g \frac{25}{2}$

Этап 6.2.3.10

Объединим $g$ и $\frac{25}{2}$ .

$5 f (x) + \frac{g \cdot 25}{2}$

Этап 6.2.3.11

Перенесем $25$ влево от $g$ .

$5 f (x) + \frac{25 g}{2}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$5 f (x) + \frac{25}{2} g$

Этап 7

Объединим $\frac{25}{2}$ и $g$ .

$5 f (x) + \frac{25 g}{2}$

Этап 8