Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $1 + t^{2}$ и в $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Этап 8.2.3

Объединим $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

Этап 8.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

Этап 8.2.6

Перепишем $\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ в виде произведения.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.2.7

Умножим $\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

Этап 9.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Этап 9.4

Перепишем $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ в виде $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Этап 9.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Этап 10.2

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Этап 10.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 10.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 10.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 10.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{1 + t^{2}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 10.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Этап 10.7.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 10.7.2.3

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Этап 10.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$