Математический анализ Примеры

$e^{x y} + \ln (x y) = 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{x y} + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x y} + \ln (x y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x y}$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.4.3.2

Объединим $\frac{x}{x y}$ и $y'$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.4.3.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.4.3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 1, y, x, 1$

Этап 5.1.2

Так как $1, 1, y, x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.5

НОК $1, 1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y x$

Этап 5.2

Каждый член в $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ на $y x$ .

$x e^{x y} y' (y x) + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y \cdot y e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.2

Изменим порядок множителей в $x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 (y x)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0 (y x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Умножим $y$ на $0$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 x$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вычтем $y^{2} x e^{x y}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x + y = - y^{2} x e^{x y}$

Этап 5.3.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y' y e^{x y} + y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y' y e^{x y}$ .

$x y' (x y e^{x y}) + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $y' x$ .

$x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1 = - y^{2} x e^{x y} - y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ на $x (x y e^{x y} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ на $x (x y e^{x y} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $x y e^{x y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x y e^{x y} + 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Умножим $\frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{(x y e^{x y} + 1) x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x y e^{x y} + 1) x$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{x (x y e^{x y} + 1)} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y} x - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} e^{x y} x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} e^{x y} x$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6

Изменим порядок членов.

$y' = \frac{y (- x y e^{x y} - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7

Сократим общий множитель $- x y e^{x y} - 1$ и $x y e^{x y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1 (1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x y e^{x y}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7.4

Перепишем $- (x y e^{x y} + 1)$ в виде $- 1 (x y e^{x y} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7.5

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7.6

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Этап 5.3.3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.8.1

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Этап 5.3.3.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$