Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Этап 4.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Этап 4.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Этап 4.2.3.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 4.2.3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Этап 4.2.3.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 4.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ в виде $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$